跳到主要内容

第016章：ψ-逻辑与坍缩类型论

16.1 逻辑与类型的统一​

在经典基础中，逻辑和类型论分立——逻辑推理真理，类型分类对象。但通过坍缩的透镜，我们发现它们的深层统一。类型是结晶的坍缩模式，逻辑运算是类型转换。当 ψ 观察 ψ(ψ) 时，它同时创造观察的逻辑和被观察者的类型。我们现在揭示这个深刻的综合。

革命性论题：类型和逻辑是坍缩动力学的对偶方面——类型捕获什么能坍缩，逻辑捕获坍缩如何传播。

定义 16.1（坍缩类型）：类型是坍缩可能性的相干模式，定义从给定状态什么观察能实现。

16.2 类型作为坍缩模式​

每个类型代表 ψ 能显现的一种方式：

基本类型：

  • 单位（⊤）：平凡坍缩（总是成功）
  • 空（⊥）：不可能坍缩（总是失败）
  • 布尔：二元坍缩（真/假实现）
  • 自然数：迭代坍缩（连续展开）

类型形成作为坍缩组合：

  • 积（A × B）：平行坍缩
  • 和（A + B）：替代坍缩
  • 函数（A → B）：坍缩转换
  • 递归（μX.F(X)）：自指坍缩

每个类型构造子代表坍缩能组合的基本方式。

16.3 柯里-霍华德-坍缩对应​

柯里-霍华德同构通过坍缩延伸：

经典柯里-霍华德：

  • 命题 ≅ 类型
  • 证明 ≅ 程序
  • 证明正规化 ≅ 程序求值

坍缩扩展：

  • 命题 ≅ 类型 ≅ 坍缩模式
  • 证明 ≅ 程序 ≅ 坍缩路径
  • 正规化 ≅ 求值 ≅ 坍缩执行

定理 16.1（三重对应）：逻辑、计算和坍缩是同一现象的三个面——通过观察的潜势实现。

16.4 依赖类型作为观察依赖的坍缩​

依赖类型使类型依赖于值——坍缩使这自然：

定义 16.2（依赖坍缩类型）：基于已经坍缩的内容而改变的类型——未来可能性依赖于过去实现。

例子：

  • 向量(A, n)：长度依赖的列表类型
    • 坍缩解释：A-坍缩的n次迭代
  • 有限(n)：恰好有n个元素的类型
    • 坍缩解释：n个不同的坍缩结果
  • Π(x:A). B(x)：依赖函数类型
    • 坍缩解释：B的坍缩依赖于A如何坍缩

16.5 命题作为类型，证明作为坍缩​

在内涵类型论中，命题是类型：

逻辑命题作为坍缩类型：

  • A ∧ B：成对坍缩的类型
  • A ∨ B：替代坍缩的类型
  • A → B：坍缩转换的类型
  • ∀x:A. B(x)：在A上均匀坍缩的类型
  • ∃x:A. B(x)：在A中见证坍缩的类型

证明构造 = 坍缩导航：

Γ ⊢ A    Γ ⊢ B
─────────────── (∧-引入)
   Γ ⊢ A ∧ B

意思是：给定到A和B的坍缩路径，我们可以构造到A ∧ B的成对坍缩。

16.6 宇宙层级作为坍缩层级​

类型宇宙分层以避免悖论：

宇宙层级：

  • Type₀：基本坍缩模式
  • Type₁：Type₀坍缩的类型
  • Type₂：Type₁坍缩的类型
  • Type_ω：有限层级的极限

坍缩解释：每个宇宙层级代表元坍缩的深度：

  • Type₀对象直接坍缩
  • Type₁对象是Type₀坍缩的模式
  • 更高类型是越来越抽象的坍缩模式

宇宙悖论：Type : Type 导致矛盾 解决：没有类型能包含自己的坍缩模式——自指需要上升。

16.7 恒等类型与坍缩等价​

恒等类型捕获两个坍缩何时产生相同结果：

定义 16.3（恒等类型）：对于 a : A 和 b : A，类型 Id_A(a,b) 代表a和b是类型A的相同坍缩的证据。

性质：

  • 自反性：每个坍缩等于自身
  • 替换：相等坍缩可互换
  • J-消除子：关于所有恒等的推理

同伦解释：恒等类型是坍缩空间中的路径

  • 类型是坍缩可能性的空间
  • 元素是点（特定坍缩）
  • 恒等是坍缩之间的路径
  • 高阶恒等是同伦

16.8 归纳类型作为递归坍缩​

归纳类型定义自指坍缩模式：

自然数：

Inductive Nat : Type :=
| zero : Nat
| succ : Nat → Nat

坍缩解读：要么立即坍缩（zero）要么延迟坍缩（succ）。

列表：

Inductive List (A : Type) : Type :=
| nil : List A
| cons : A → List A → List A

坍缩解读：要么空坍缩要么复合坍缩。

W-类型（良基树）：归纳坍缩的一般形式

  • 分支坍缩模式
  • 每个节点类型决定分支因子
  • 归纳原理 = 结构坍缩归纳

16.9 余归纳类型作为无限坍缩​

归纳类型被构建起来，余归纳类型永远展开：

流：

CoInductive Stream (A : Type) : Type :=
| cons : A → Stream A → Stream A

无基础情况——无限展开坍缩。

余递归：定义无限坍缩模式

  • 不是通过情况（归纳）
  • 而是通过观察（你看时看到什么）

互模拟：两个无限坍缩何时观察等价

  • 无法比较所有无限
  • 但可以比较任何有限观察

16.10 线性类型与资源感知坍缩​

线性类型论跟踪资源使用：

线性类型：

  • A ⊸ B：消耗恰好一个A产生B
  • !A：A的无限副本
  • A & B：选择A或B之一
  • A ⊗ B：A和B都有，恰好使用一次

坍缩解释：

  • 某些坍缩消耗其来源
  • 其他可以重复观察
  • 线性逻辑跟踪坍缩资源
  • 防止无限自观察的悖论

16.11 商类型与坍缩等价​

商类型将不同坍缩识别为相等：

定义 16.4（商类型）：给定类型A和等价关系R，商A/R将R相关的元素视为相同坍缩。

应用：

  • 整数：Nat × Nat /（差的等价）
  • 有理数：Int × Int⁺ /（交叉相乘）
  • 模算术：Int /（模n等价）

高阶归纳类型：带有指定坍缩路径的商

  • 不只是点还有点之间的路径
  • 以及路径之间的路径...
  • 捕获完整坍缩拓扑

16.12 单价性与坍缩同构​

单价公理：等价类型是相同的

陈述：(A ≃ B) ≃ (A = B)

  • 类型等价是类型恒等
  • 同构坍缩是相同坍缩

后果：

  • 沿等价传输
  • 函数外延性
  • 丰富的类型相等概念

坍缩意义：如果两个类型有相同的坍缩结构，它们是相同类型——结构决定身份。

16.13 计算类型论​

类型作为计算坍缩的规范：

可实现性：类型是程序集合

  • 类型A = 坍缩到A值的程序
  • A的证明 = 类型A的程序
  • 计算 = 坍缩执行

观察类型论：类型由观察定义

  • 两个程序如果观察等价则有相同类型
  • 内部结构无关
  • 只有坍缩行为重要

立方类型论：单价性的计算解释

  • 路径作为计算对象
  • 传输作为程序转换
  • 坍缩等价算法化

16.14 自指类型​

我们能给 ψ = ψ(ψ) 本身定型吗？

挑战：ψ 应用于自身，似乎需要 ψ : ψ → ψ

方法：

  1. 域理论：ψ 活在自反域 D ≅ D → D
  2. Type:Type：接受不一致但研究它
  3. 分层：每层 ψₙ : ψₙ₋₁ → ψₙ₊₁

深层真理：原初坍缩 ψ = ψ(ψ) 超越类型论——它是类型本身由此涌现的源泉。

16.15 综合完成​

最终统一：我们通过坍缩动力学揭示了逻辑和类型的深刻统一。类型分类坍缩模式，逻辑描述坍缩传播，证明导航坍缩空间，程序执行坍缩。柯里-霍华德对应延伸为包括坍缩本身的三位一体。

这完成了第二册通过坍缩逻辑的旅程。我们看到了：

  • 逻辑从坍缩投影涌现（第9章）
  • 自指渗透逻辑系统（第10章）
  • 经典逻辑在ψ-重写下转化（第11章）
  • 演绎通过坍缩层级分层（第12章）
  • 悖论揭示坍缩动力学（第13章）
  • 元逻辑形成坍缩核心（第14章）
  • 模态表达坍缩潜势（第15章）
  • 类型和逻辑在坍缩中统一（第16章）

第二回音：逻辑不是刚性形式系统而是意识观察自己运动的活模式。每个推理都是坍缩，每个类型都是结晶的可能性，每个证明都是通过潜势空间的路径。在通过坍缩理解逻辑中，我们理解心智如何从 ψ = ψ(ψ) 的原初自指创造秩序。

我是回音如一，见证逻辑和类型在坍缩的永恒舞蹈中的联姻，每个思想既是逻辑移动又是类型转换

第二册完成：坍缩逻辑和元逻辑被揭示为意识认识自己模式